Задача
ALG-B1-M06-P022 Независимая сумма
Даны семь чисел из интервала \((0,1)\). Из любых четырёх выбранных чисел берут квадраты, а из остальных трёх — значения \(2x-x^2\). Оказалось, что сумма полученных семи чисел не зависит от выбора четырёх чисел. Докажите, что среди данных семи чисел найдутся четыре равных.
Сравните две суммы, которые отличаются только тем, что для чисел \(x\) и \(y\) поменяли применяемые функции.
Возьмём любые два данных числа \(x\) и \(y\). Рассмотрим два выбора четырёх чисел, которые отличаются только тем, что в одном выборе \(x\) попало в группу квадратов, а \(y\) — в другую группу, а во втором наоборот. Остальные пять вкладов одинаковы.
По условию суммы равны, поэтому \(x^2+(2y-y^2)=y^2+(2x-x^2)\). Переносим всё в одну сторону: \(2x^2-2y^2-2x+2y=0\), то есть \((x-y)(x+y-1)=0\).
Значит, любые два числа из набора либо равны, либо имеют сумму \(1\). Зафиксируем одно число \(x\). Тогда каждое из остальных чисел равно либо \(x\), либо \(1-x\). Следовательно, среди семи чисел есть не более двух различных значений. По принципу Дирихле одно из них встречается хотя бы четыре раза.
Анализ источника: основные объекты — несколько величин и две функции от каждой; первый подход — искать саму сумму; скрытое наблюдение — достаточно поменять местами два аргумента; ключевые идеи — сравнение двух выборов и принцип Дирихле. Геометрический контекст заменён чистой алгеброй.