Задача
ALG-B1-M07-P009 Сумма попарных произведений
#9
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\) и \(a+b+c=1\). Докажите, что \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\).
Используйте \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\).
Из задачи о трёх квадратах следует \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\). Так как \(a+b+c=1\), получаем \(1\ge3(ab+bc+ca)\), то есть \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\). Равенство при \(a=b=c=\frac{1}{3}\).
Показывает, как базовая сумма квадратов даёт точную оценку.