Задача
ALG-B1-M07-P011 Неравенство Несбитта
#11
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b,c>0\). Докажите \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}.\]
Запишите \(\frac{a}{b+c}\) как \(\frac{a^2}{a(b+c)}\) и примените Коши.
По Коши сумма не меньше \(\frac{(a+b+c)^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\).
Так как \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\), получаем \(\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\ge\frac{3}{2}\). Равенство при \(a=b=c\).
Стандартная задача, но уже требует двух идей: Коши и симметрической оценки.