Задача
ALG-B1-M07-P012 Сумма обратных при фиксированной сумме
#12
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(x,y,z>0\) и \(x+y+z=1\). Докажите \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge9\).
Примените Коши к \(\left(\sum \frac{1}{x}\right)(x+y+z)\).
По Коши: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+y+z)\ge(1+1+1)^2=9\). Так как \(x+y+z=1\), неравенство доказано. Равенство при \(x=y=z=\frac{1}{3}\).
Ученик должен увидеть пары множителей: \(\frac{1}{x}\) и \(x\).