Задача
ALG-B1-M07-P014 Три множителя
#14
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(x,y,z>0\) и \(xyz=1\). Докажите \((1+x)(1+y)(1+z)\ge8\).
Оцените каждый множитель \(1+x\) через \(2\sqrt{x}\).
По AM-GM: \(1+x\ge2\sqrt{x}\), \(1+y\ge2\sqrt{y}\), \(1+z\ge2\sqrt{z}\). Перемножая, получаем \((1+x)(1+y)(1+z)\ge8\sqrt{xyz}=8\). Равенство при \(x=y=z=1\).
Задача тренирует перемножение нескольких точных оценок.