Задача
ALG-B1-M07-P015 Сумма квадратов вокруг среднего
#15
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b,c\) — вещественные числа и \(a+b+c=0\). Докажите, что \(a^2+b^2+c^2\ge0\), причём равенство возможно только при \(a=b=c=0\). Затем объясните, почему из этого следует \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{(x+y+z)^2}{3}\).
Во второй части вычтите из \(x,y,z\) их среднее.
Первая часть очевидна, так как сумма квадратов неотрицательна; равенство возможно только когда все квадраты равны нулю.
Для второй части положим \(m=\frac{x+y+z}{3}\), \(a=x-m\), \(b=y-m\), \(c=z-m\). Тогда \(a+b+c=0\), поэтому \((x-m)^2+(y-m)^2+(z-m)^2\ge0\). Раскрывая, получаем \(x^2+y^2+z^2\ge3m^2=\frac{(x+y+z)^2}{3}\).
Это важный мост к среднему арифметическому и среднему квадратическому.