Задача
ALG-B1-M07-P022 Половина суммы
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\). Докажите \[\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}.\]
Примените Коши и аккуратно сложите знаменатели.
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\).
Равенство возможно при \(a=b=c\), что полезно проверить отдельно.