Задача
ALG-B1-M08-P017 Монотонная аддитивная функция
#17
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), и \(f\) неубывает. Докажите, что существует \(c\ge0\), такое что \(f(x)=cx\) для всех \(x\).
Сначала докажите формулу для рациональных, затем зажмите вещественное число рациональными.
Пусть \(c=f(1)\). На рациональных числах уже известно \(f(q)=cq\). Так как \(1>0\), из неубывания \(c=f(1)\ge f(0)=0\).
Пусть \(x\) вещественно. Для любых рациональных \(r
Первое серьёзное предупреждение: на \(\mathbb R\) нужна регулярность.