Задача
ALG-B1-M08-P019 Аддитивность и квадрат
#19
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\) аддитивна и \(f(x^2)=f(x)^2\) для всех \(x\in\mathbb Q\). Найдите все такие функции.
Сначала используйте аддитивность на \(\mathbb Q\): \(f(x)=cx\).
Из аддитивности на \(\mathbb Q\) имеем \(f(x)=cx\), где \(c=f(1)\). Условие даёт \(c x^2=c^2 x^2\) для всех \(x\). При \(x=1\) получаем \(c=c^2\), значит \(c=0\) или \(c=1\).
Обе функции подходят: \(f(x)=0\) и \(f(x)=x\).
Хорошая задача на добавление второго условия к Cauchy.