Задача
ALG-B1-M08-P020 Квадратичное уравнение на целых
#20
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Функция \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) удовлетворяет \(f(m+n)+f(m-n)=2f(m)+2f(n)\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\). Докажите, что \(f(n)=n^2\) для всех \(n\in\mathbb Z\).
Подставьте \(m=n\), затем \(m=n\), \(n=1\), чтобы получить рекурсию.
При \(m=0\) получаем \(f(n)+f(-n)=2f(n)\), значит \(f(-n)=f(n)\). При \(n=1\): \(f(m+1)+f(m-1)=2f(m)+2\).
Эта рекурсия с \(f(0)=0\), \(f(1)=1\) задаёт все значения. Докажем по индукции, что \(f(k)=k^2\) для \(k\ge0\). Для \(0,1\) верно. Если верно для \(k\) и \(k-1\), то \(f(k+1)=2f(k)+2-f(k-1)=2k^2+2-(k-1)^2=(k+1)^2\). Для отрицательных \(n\) используем \(f(-n)=f(n)\).
Это вводная версия квадратического функционального уравнения.