Задача
ALG-B1-M08-P021 Целые значения на интервале
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна и принимает целые значения на всём отрезке \([0,1]\). Докажите, что \(f(x)=0\) для всех \(x\).
Для \(t\in[0,1]\) рассмотрите \(f\left(\frac{t}{n}\right)\).
Пусть \(t\in[0,1]\). Тогда \(\frac{t}{n}\in[0,1]\), поэтому \(f\left(\frac{t}{n}\right)\) — целое число. Но \(n f\left(\frac{t}{n}\right)=f(t)\). Если \(f(t)\neq0\), то при \(n>|f(t)|\) целое число \(f\left(\frac{t}{n}\right)=\frac{f(t)}{n}\) не может быть целым. Значит, \(f(t)=0\) на \([0,1]\).
Для любого вещественного \(x\) выберем натуральное \(N>|x|\). Тогда \(\frac{x}{N}\in[-1,1]\). Если \(x<0\), используем \(f(-u)=-f(u)\), так что \(f\left(\frac{x}{N}\right)=0\). Следовательно, \(f(x)=N f\left(\frac{x}{N}\right)=0\).
Нестандартное регулярное условие вместо монотонности.