Задача
ALG-B1-M10-P017 Три соседних значения
#17
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все целые тройки \((x,y,z)\), для которых \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+3\).
Умножьте на \(2\) и используйте сумму квадратов разностей.
Получаем \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=6\). Квадраты целых чисел должны быть \(1,1,4\). Поэтому разности равны \(1,1,-2\) с точностью до знаков и порядка. Значит, тройка состоит из трёх последовательных целых чисел. Все решения — перестановки \((t-1,t,t+1)\), \(t\in\mathbb Z\).
Хорошая mixed-задача на симметрию и целые квадраты.