Задача
ALG-B2-M01-P011 Разность степеней
Числа \(a,b\) удовлетворяют \(a^3-b^3=3\) и \(a^5-b^5\ge9\). Докажите, что \(a^2+b^2\ge3\).
Подсказка 1. Умножьте \(a^2+b^2\) на \(a^3-b^3\).
Подсказка 2. После раскрытия появится неотрицательный остаток.
Из \(a^3-b^3=3\) следует \(a>b\). Тогда \[3(a^2+b^2)=(a^2+b^2)(a^3-b^3)=a^5-b^5+a^2b^2(a-b).\] Правая часть не меньше \(9\), потому что \(a^5-b^5\ge9\) и \(a^2b^2(a-b)\ge0\). Поэтому \(3(a^2+b^2)\ge9\), то есть \(a^2+b^2\ge3\).
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 6: главный ход — угадать нужное произведение степеней.
G. Почему это не одноходовая задача. Нельзя получить вывод прямым сравнением степеней; нужен точный алгебраический остаток.