Задача
ALG-B2-M04-P007 Кубы и квадраты
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите при \(x,y,z\ge0\): \[3(x^3+y^3+z^3)\ge(x+y+z)(x^2+y^2+z^2).\]
Подсказка. Упорядочьте \(x,y,z\). Тогда \(x\) и \(x^2\) упорядочены одинаково.
После переименования считаем \(x\le y\le z\). Тогда \(x^2\le y^2\le z^2\). По Чебышеву \[\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge\frac{x+y+z}{3}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{3}.\] Умножая на \(9\), получаем требуемое.
Важно, что переименование разрешено, потому что неравенство симметрично.