Задача
ALG-B2-M04-P016 Четырёхчленный цикл
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите при \(a,b,c,d>0\): \[a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^3b+b^3c+c^3d+d^3a.\]
Подсказка. Упорядочьте числа как \(u_1\le u_2\le u_3\le u_4\). Правая часть станет некоторой перестановкой произведений \(u_i^3\cdot u_j\).
После упорядочивания последовательности \(u_i^3\) и \(u_i\) имеют одинаковый порядок. По rearrangement максимальная сумма произведений \(u_i^3\cdot u_{\sigma(i)}\) равна \(\sum u_i^4\). Циклическая правая часть является одной из перестановок, следовательно, она не больше \(\sum u_i^4\).
Расширяет трёхчленную идею на четыре переменные.