Задача
ALG-B2-M04-P017 Две нулевые суммы
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\), \(b_1\le b_2\le\cdots\le b_n\), причём \(\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^n b_i=0\). Докажите \[\sum_{i=1}^n a_i b_i\ge0.\]
Подсказка. Примените Чебышева в общем виде.
Так как последовательности упорядочены одинаково, по Чебышеву \[\frac1n\sum_{i=1}^n a_i b_i\ge\left(\frac1n\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\frac1n\sum_{i=1}^n b_i\right)=0.\] Поэтому \(\sum a_i b_i\ge0\).
Это уже олимпиадный шаблон: условие нулевой суммы часто прячется в задачах про знак.