Задача
ALG-B2-M05-P004 Произведение при фиксированной сумме
#4
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(a,b,c>0\) и \(a+b+c=6\). Докажите \(abc\le8\).
Подсказка. Примените Йенсена к \(\ln x\).
Так как \(\ln x\) вогнута, \[\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}\le\ln\frac{a+b+c}{3}=\ln2.\] Значит, \(\ln(abc)\le3\ln2=\ln8\), откуда \(abc\le8\).
Показывает стандартный переход от произведения к сумме логарифмов.