Задача
ALG-B2-M05-P016 Касательная к корню
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите при \(x\ge0\): \[\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}.\]
Подсказка. Можно использовать касательную к \(\sqrt{x}\) в точке \(1\), а можно возвести в квадрат.
Так как \(\sqrt{x}\) вогнута, график лежит ниже касательной в точке \(1\). Эта касательная: \(y=1+\frac12(x-1)=\frac{x+1}{2}\). Значит, \(\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\).
Полезная линейная оценка для задач, где нужно избавиться от корней.