Задача
ALG-B2-M05-P017 Произведение с единицами
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x,y,z\ge0\) и \(x+y+z=3\). Докажите \[(1+x)(1+y)(1+z)\le8.\]
Подсказка. Примените Йенсена к функции \(\ln(1+t)\).
Функция \(\ln(1+t)\) вогнута при \(t\ge0\). Поэтому \[\frac{\ln(1+x)+\ln(1+y)+\ln(1+z)}{3}\le\ln\left(1+\frac{x+y+z}{3}\right)=\ln2.\] Значит, логарифм произведения не больше \(\ln8\), откуда произведение не больше \(8\).
Более скрытый выбор функции: логарифм берётся не от \(x\), а от \(1+x\).