Задача
ALG-B2-M05-P018 Три знаменателя с двойкой
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x,y,z\ge0\) и \(x+y+z=3\). Докажите \[\frac1{2+x}+\frac1{2+y}+\frac1{2+z}\ge1.\]
Подсказка. Рассмотрите \(f(t)=\frac1{2+t}\).
Функция \(f(t)=\frac1{2+t}\) выпукла при \(t\ge0\). По Йенсену \[\frac13\sum\frac1{2+x}\ge \frac1{2+(x+y+z)/3}=\frac13.\] Умножаем на \(3\).
Задача тренирует распознавание выпуклости дроби со сдвигом.