Задача
ALG-B2-M05-P019 Четвёртая степень при сумме
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x,y,z\ge0\) и \(x+y+z=3\). Докажите \[x^4+y^4+z^4\ge3.\]
Подсказка. Используйте выпуклость \(t^4\) или касательную к \(t^4\) в точке \(1\).
По Йенсену \[\frac{x^4+y^4+z^4}{3}\ge\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^4=1.\] Значит, сумма четвёртых степеней не меньше \(3\). Равенство при \(x=y=z=1\).
Простой вид, но важная идея: сильная выпуклость даёт минимум при равенстве переменных.