Задача
ALG-B2-M05-P020 Степенное произведение
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x,y,z>0\) и \(x+y+z=3\). Докажите \[x^x y^y z^z\ge1.\]
Подсказка. Возьмите логарифм и рассмотрите функцию \(f(t)=t\ln t\).
Функция \(f(t)=t\ln t\) выпукла при \(t>0\). По Йенсену \[\frac{x\ln x+y\ln y+z\ln z}{3}\ge f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)=f(1)=0.\] Следовательно, \(\ln(x^x y^y z^z)\ge0\), значит \(x^x y^y z^z\ge1\).
Олимпиадная задача на выбор функции: выражение \(x^x\) не должно пугать, его нужно логарифмировать.