Задача
ALG-B2-M05-P021 Экспонента при заданном среднем
#21
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x_1,\ldots,x_n\) - действительные числа. Докажите \[\frac{e^{x_1}+\cdots+e^{x_n}}{n}\ge e^{(x_1+\cdots+x_n)/n}.\]
Подсказка. Это прямой Йенсен для выпуклой функции \(e^x\).
Функция \(e^x\) выпукла на всей прямой. Поэтому по Йенсену среднее значений функции не меньше значения функции в среднем аргументов: \[\frac1n\sum e^{x_i}\ge e^{(\sum x_i)/n}.\]
Обобщающая задача: полезна как мост к логарифмическим и экспоненциальным заменам.