Задача
ALG-B2-M05-P022 Общее произведение со сдвигом
#22
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x_1,\ldots,x_n\ge0\) и \(x_1+\cdots+x_n=S\). Докажите \[\prod_{i=1}^n(1+x_i)\le\left(1+\frac{S}{n}\right)^n.\]
Подсказка. Логарифмируйте и примените Йенсена к \(\ln(1+x)\).
Функция \(\ln(1+x)\) вогнута при \(x\ge0\). Поэтому \[\frac1n\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)\le\ln\left(1+\frac{S}{n}\right).\] Умножая на \(n\), получаем \(\ln\prod(1+x_i)\le n\ln(1+S/n)\). Возводя \(e\) в обе части, получаем требуемое.
Сложность в том, что нужно выбрать не \(\ln x\), а \(\ln(1+x)\), и аккуратно вернуться к произведению.