Задача
ALG-B2-M06-P002 Кубы через p, q, r
#2
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(p=a+b+c\), \(q=ab+bc+ca\), \(r=abc\). Докажите \[a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r.\]
Подсказка. Используйте тождество \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\).
По указанному тождеству \(\sum a^3-3r=p((p^2-2q)-q)=p(p^2-3q)=p^3-3pq\). Поэтому \(\sum a^3=p^3-3pq+3r\).
Это тождество будет использоваться постоянно в Schur-type задачах.