Задача
ALG-B2-M06-P007 Максимум q при фиксированном p
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\) и \(a+b+c=p\). Докажите \[ab+bc+ca\le\frac{p^2}{3}.\]
Подсказка. Используйте \(p^2\ge3q\).
По формуле \(p^2-3q=\frac12\sum(a-b)^2\ge0\). Значит, \(q\le\frac{p^2}{3}\). Равенство возможно только при \(a=b=c\).
Фиксация \(p\) и контроль \(q\) - частый первый шаг UVW.