Задача
ALG-B2-M06-P008 Максимум r при фиксированном p
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\) и \(a+b+c=p\). Докажите \[abc\le\frac{p^3}{27}.\]
Подсказка. Используйте AM-GM или проверьте, что максимум достигается при \(a=b=c\).
По AM-GM, \(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\). Поэтому \(\sqrt[3]{abc}\le p/3\), и \(abc\le p^3/27\). Равенство при \(a=b=c=p/3\).
Хотя это AM-GM, результат является базовым для UVW-анализа.