Задача
ALG-B2-M06-P016 Schur degree 4
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[\sum a^4+abc(a+b+c)\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^3b.\]
Подсказка. Это Schur degree \(4\); используйте UVW-редукцию к \(b=c\) и границе.
Неравенство симметрично и является Schur-type неравенством степени \(4\). По UVW достаточно проверить \(b=c\) и границу. При \(b=c=1\), \(a=t\), разность равна \(t^2(t-1)^2\ge0\). На границе, например \(c=0\), получаем \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\), то есть \((a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0\). Следовательно, неравенство доказано.
Это главный тренировочный пример UVW в модуле.