Задача
ALG-B2-M07-P003 Нормировка суммы
#3
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[a^2+b^2+c^2\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}.\]
Подсказка. Положите \(a+b+c=1\).
Неравенство однородно. При \(a+b+c=1\) нужно доказать \(a^2+b^2+c^2\ge1/3\). Это следует из \((a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)\). Возвращаясь к исходному масштабу, получаем требуемое.
Базовое применение нормировки суммы.