Задача
ALG-B2-M07-P005 Гомогенизация константы
#5
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=1\). Докажите \[ab+bc+ca\le\frac13.\]
Подсказка. Замените \(\frac13\) на \(\frac{(a+b+c)^2}{3}\).
Так как \(a+b+c=1\), достаточно доказать \(ab+bc+ca\le\frac{(a+b+c)^2}{3}\), то есть \(3q\le p^2\). Это следует из \(p^2-3q=\frac12\sum(a-b)^2\ge0\).
Учит превращать числовую константу в однородное выражение.