Задача
ALG-B2-M07-P014 Сумма квадратов при сумме 3
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[a^2+b^2+c^2\ge3.\]
Подсказка. Это нормированная версия \(\sum a^2\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}\).
По Cauchy, \((a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)\). Так как \(a+b+c=3\), получаем \(9\le3\sum a^2\), то есть \(\sum a^2\ge3\).
Контроль равенства при \(a=b=c=1\).