Задача
ALG-B2-M07-P015 Дроби с противоположными суммами
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}.\]
Подсказка. Нормируйте \(a+b+c=1\) или примените Cauchy.
По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{(a+b+c)^2}{(b+c)+(c+a)+(a+b)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}.\]
Одна из главных однородных дробных форм.