Задача
ALG-B2-M07-P016 Верните масштаб
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть для всех \(x,y,z\ge0\) с \(x+y+z=1\) доказано \(x^2+y^2+z^2\ge\frac13\). Выведите отсюда для любых \(a,b,c\ge0\) неравенство \[a^2+b^2+c^2\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}.\]
Подсказка. Возьмите \(x=\frac{a}{a+b+c}\), \(y=\frac{b}{a+b+c}\), \(z=\frac{c}{a+b+c}\).
Если \(a+b+c=0\), всё очевидно. Иначе положим \(S=a+b+c\) и \(x=a/S\), \(y=b/S\), \(z=c/S\). Тогда \(x+y+z=1\), поэтому \(\frac{a^2+b^2+c^2}{S^2}\ge1/3\). Умножаем на \(S^2\).
Очень важный формальный навык: возвращение от нормировки.