Задача
ALG-B2-M09-P004 Максимум попарной суммы
#4
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=1\). Докажите \(ab+bc+ca\le\frac13\).
Подсказка. Используйте \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\).
Так как \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\), при \(a+b+c=1\) получаем \(1\ge3(ab+bc+ca)\). Равенство при \(a=b=c=1/3\).
Показывает, как фиксированная сумма ограничивает \(q\).