Задача
ALG-B2-M09-P005 Сумма обратных
#5
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(a+b+c=5\). Докажите \[\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge\frac95.\]
Подсказка. Примените Cauchy к \(1,1,1\).
По Cauchy, \(9=(1+1+1)^2\le(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)=5\sum1/a\). Отсюда \(\sum1/a\ge9/5\).
Фиксированная сумма и выпуклая функция.