Задача
ALG-B2-M09-P016 Произведение парных сумм
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[(a+b)(b+c)(c+a)\le8.\]
Подсказка. Заметьте, что \(a+b=3-c\), и примените AM-GM к \(3-a,3-b,3-c\).
Имеем \((a+b)(b+c)(c+a)=(3-c)(3-a)(3-b)\). Сумма множителей равна \((3-a)+(3-b)+(3-c)=6\). По AM-GM их произведение не больше \((6/3)^3=8\). Равенство при \(a=b=c=1\).
Неочевидное ограничение превращается в фиксированную сумму новых множителей.