Задача
ALG-B2-M10-P006 Две фиксированные оценки
#6
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\ge6abc.\]
Подсказка. Левая часть равна \(9-(ab+bc+ca)\).
Пусть \(q=ab+bc+ca\), \(r=abc\). Тогда левая часть равна \(9-q\). При \(a+b+c=3\) имеем \(q\le3\), значит \(9-q\ge6\). Также \(r\le1\), поэтому \(6r\le6\). Следовательно, \(9-q\ge6\ge6r\).
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.