Задача
ALG-B2-M10-P007 Произведение парных сумм
#7
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[(a+b)(b+c)(c+a)\le8.\]
Подсказка. Замените \(a+b\) на \(3-c\).
Имеем \((a+b)(b+c)(c+a)=(3-c)(3-a)(3-b)\). Сумма множителей равна \(6\). По AM-GM произведение не больше \((6/3)^3=8\). Равенство при \(a=b=c=1\).
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.