Задача
ALG-B2-M10-P008 Фиксированная попарная сумма
#8
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(ab+bc+ca=3\). Докажите \(abc\le1\).
Подсказка. Используйте \(p^2\ge3q\) и \(q^2\ge3pr\).
Пусть \(p=a+b+c\), \(q=3\), \(r=abc\). Из \(p^2\ge3q\) следует \(p\ge3\). Из \(q^2\ge3pr\) получаем \(9\ge3pr\), значит \(r\le3/p\le1\).
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.