Задача
ALG-B2-M10-P009 Треугольная дробь
#9
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\) - стороны треугольника. Докажите \[\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3.\]
Подсказка. Используйте замену \(a=y+z\), \(b=z+x\), \(c=x+y\).
Тогда \(b+c-a=2x\), \(c+a-b=2y\), \(a+b-c=2z\). Сумма равна \(\frac12\sum\frac{y+z}{x}\). Внутри стоят три пары вида \(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\), каждая не меньше \(2\), поэтому сумма не меньше \(3\).
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.