Задача
ALG-B2-M10-P010 Сумма четвёртых степеней
#10
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[a^4+b^4+c^4+a b c(a+b+c)\ge a^3b+b^3c+c^3a+a^3c+b^3a+c^3b.\]
Подсказка. Это та же форма Schur degree \(4\), но правая часть раскрыта явно.
Правая часть равна \(\sum_{\mathrm{sym}}a^3b\). Поэтому утверждение совпадает с Schur degree \(4\), доказанным через UVW: достаточно проверить \(b=c\) и границу, где получаются неотрицательные квадратичные множители.
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.