Задача
ALG-B2-M10-P016 Смешанная дробная сумма
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^2+1}{a+b+1}\ge2.\]
Подсказка. Разделите числитель как \(a^2+1\) и примените Cauchy к каждой части.
По Cauchy, \(\sum\frac{a^2}{a+b+1}\ge\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+1)+(b+c+1)+(c+a+1)}=\frac{9}{9}=1\). Также \(\sum\frac1{a+b+1}\ge\frac{9}{9}=1\). Складывая, получаем требуемое.
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.