Задача
ALG-B2-M10-P017 Телескопирование с корнями
Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \[(y-x)\sqrt{x^2+3y^2}+(z-y)\sqrt{y^2+3z^2}+(x-z)\sqrt{z^2+3x^2}\ge0.\]
Подсказка 1. Докажите локальную оценку \((v-u)\sqrt{u^2+3v^2}\ge v^2-u^2\).
Подсказка 2. Рассмотрите отдельно случаи \(v\ge u\) и \(v
Для \(u,v>0\) докажем \((v-u)\sqrt{u^2+3v^2}\ge(v-u)(u+v)=v^2-u^2\). Если \(v\ge u\), то \(\sqrt{u^2+3v^2}\ge u+v\), поскольку \(u^2+3v^2-(u+v)^2=2v(v-u)\ge0\). Если \(v
A. Анализ источника. Главные объекты: циклическая сумма выражений с разностью двух переменных и корнем.
B. Недостаточный первый ход. Прямое возведение всей суммы в квадрат не работает из-за разных знаков множителей.
C. Скрытое наблюдение. Корень нужно сравнить с линейным выражением \(u+v\), причём направление зависит от знака \(v-u\).
D. Нужный ход. Доказывается локальная оценка, затем она суммируется и телескопируется.
E. Число идей. Две идеи: разбор знака и телескопирование квадратов.
F. Обоснование уровня. Региональный уровень 7: метод короткий, но неочевидно, какую локальную оценку надо угадать.
G. Почему это не одношаговая задача. Без локальной оценки задача не сводится к стандартной формуле; нужно найти именно телескопирующуюся нижнюю границу.