Задача
ALG-B2-M10-P018 Два квадратных трёхчлена
Пусть \(A,B,C\) - действительные числа, и \[A x^2+(B-C)x+C>0\] при всех действительных \(x\). Докажите, что \[C x^2-(B+C)x+(A+B)>0\] при всех действительных \(x\).
Подсказка 1. У первого трёхчлена отрицательный дискриминант.
Подсказка 2. Посчитайте дискриминант второго трёхчлена.
Из условия при \(x=0\) получаем \(C>0\). Первый трёхчлен положителен при всех \(x\), значит его дискриминант отрицателен: \[(B-C)^2-4AC<0.\] Дискриминант второго трёхчлена равен \[(B+C)^2-4C(A+B)=B^2-2BC+C^2-4AC=(B-C)^2-4AC<0.\] Его старший коэффициент \(C>0\), поэтому второй трёхчлен тоже положителен при всех \(x\).
A. Анализ источника. Главные объекты: два квадратных трёхчлена, связанные перестановкой коэффициентов.
B. Недостаточный первый ход. Подстановка отдельных значений \(x\) не даёт универсального доказательства.
C. Скрытое наблюдение. У второго трёхчлена оказывается тот же дискриминант, что и у первого.
D. Нужный ход. Нужно перейти от условия положительности ко знаку дискриминанта.
E. Число идей. Две идеи: дискриминант и проверка положительности старшего коэффициента.
F. Обоснование уровня. Региональный уровень 7: решение требует увидеть инвариант дискриминанта, а не раскрывать неравенство по точкам.
G. Почему это не одношаговая задача. Это не одношаговая задача: нужно извлечь скрытые условия \(C>0\) и \(D<0\), затем перенести их на другой трёхчлен.