Задача
ALG-B2-M11-P013 Holder с циклическим знаменателем
#13
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{a+b+c}{3}.\]
Подсказка. Используйте Holder: \(\sum\frac{x^3}{y}\ge\frac{(\sum x)^3}{\sum y}\).
По Holder, \[\sum\frac{a^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{(a+b+c)^3}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}.\] Так как \(3(a+b+c)^2\ge2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca\), получаем нижнюю оценку \((a+b+c)/3\).
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.