Задача
ALG-B2-M11-P014 Schur третьей степени
#14
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[a^3+b^3+c^3+3abc\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^2b.\]
Подсказка. Это форма Schur: \(\sum a(a-b)(a-c)\ge0\).
По Schur, \(\sum a(a-b)(a-c)\ge0\). Раскрывая, получаем \[a^3+b^3+c^3+3abc-\sum_{\mathrm{sym}}a^2b\ge0,\] что и требовалось доказать.
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.