Задача
ALG-B2-M12-P003 Вариант 1. Куб в числителе
#3
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b+c}{3}.\]
Подсказка. Докажите локально \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\).
Имеем \(3x^3-(2x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)^2(x+y)\ge0\). Суммирование по циклу даёт \(\frac{2a-b+2b-c+2c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3}\).
Mock-вариант 1: задача рассчитана на самостоятельный выбор метода без явной подсказки в условии.