Задача
ALG-B2-M12-P006 Вариант 2. Знаменатели с квадратами
#6
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^2}{b^2+c^2+a(b+c)}\ge\frac12.\]
Подсказка. Найдите сумму знаменателей и примените Cauchy.
Сумма знаменателей равна \(2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)=2(a+b+c)^2\). Поэтому по Cauchy левая часть не меньше \((a+b+c)^2/(2(a+b+c)^2)=1/2\).
Mock-вариант 2: задача рассчитана на самостоятельный выбор метода без явной подсказки в условии.