Задача
ALG-B2-M12-P007 Вариант 2. Корни от пар
#7
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}\ge3\sqrt{3}.\]
Подсказка. Докажите \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}2(x+y)\).
Так как \(x^2+xy+y^2-\frac34(x+y)^2=\frac14(x-y)^2\ge0\), то \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}2(x+y)\). После суммирования получаем \(3\sqrt{3}\).
Mock-вариант 2: задача рассчитана на самостоятельный выбор метода без явной подсказки в условии.