Задача
ALG-B2-M12-P014 Вариант 4. Два множителя
#14
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}\ge\frac34.\]
Подсказка. После Cauchy останется \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
По Cauchy, левая часть не меньше \(\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}\). Сравнение этой дроби с \(3/4\) равносильно \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
Mock-вариант 4: задача рассчитана на самостоятельный выбор метода без явной подсказки в условии.